Công thức tính nhanh thể tích

     

Bài viết này adstech.vn tổng phù hợp và trình làng lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một vài trường hợp đặc biệt hay gặp

https://www.adstech.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tính thể tích mang đến khối tứ diện bất cứ khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Vấn đề ghi nhớ các công thức này giúp các em xử lý nhanh một trong những dạng bài xích khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT giang sơn 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh thể tích

Bài viết này trích lược một vài công thức cấp tốc hay sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức cấp tốc khác liên quan đến thể tích khối tứ diện cùng thể tích khối lăng trụ các bạn đọc tham khảo khoá bộ combo X bởi vì adstech.vn xây dừng tại đây:https://www.adstech.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong số ấy <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện phần đông cạnh $a,$ ta bao gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải sở hữu chiều cao bởi . Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện phần nhiều cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện phần nhiều là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn giải đáp B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ tất cả $AB,AC,AD$ song một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta gồm $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần phần nhiều (các cặp cạnh đối khớp ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta bao gồm

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã mang lại bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta tất cả $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng bí quyết từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta có $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ gồm $CD=8$ với theo công thức đường trung tuyến ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ do đó $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối tứ diện gần phần đông có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta có $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá chỉ trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ với $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt mong $(S_1),(S_2)$ tất cả cùng trung khu $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm tại $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta có $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ cùng $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ với $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng chừng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bởi $a.$ biết rằng $AB$ cùng $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy với góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ và $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn giải đáp C.

Xem thêm: Top 10 Bài Văn Thuyết Minh Về Thơ Lục Bát (Lớp 8) Hay Nhất, Thuyết Minh Về Thể Thơ Lục Bát Ngắn Hay Nhất

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai khía cạnh kề nhau

*

Ví dụ 1: đến khối chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải bỏ ra tiết. gọi $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta tất cả $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta tất cả $left{ egingathered CB ot ba hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot da hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết hòa hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn giải đáp B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy cùng góc thân hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ khi đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn giải đáp A.

Ví dụ 4: đến tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đầy đủ cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn câu trả lời A.

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt mặt và phương diện đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ bao gồm $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Thể Loại Văn Bản Ôn Dịch Thuốc Lá, Soạn Bài Ôn Dịch, Thuốc Lá (Trang 118)

Tứ diện này còn có độ dài tất cả các cạnh ta tính những góc tại một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc bắt đầu từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn lời giải B.

*